sábado, 31 de marzo de 2012

Dibujar raíces cuadradas

Ayer me encontré (por Fran Hidalgo en G+) una preciosa construcción geométrica que muestra como se pueden calcular dibujando las raíces cuadradas de los números naturales. 

Para comprobarlo sólo hace falta el teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo de catetos 1 (el primero) es claro que la hipotenusa valdrá raíz de 2. En el segundo triángulo los catetos valen 1 y raíz de 2, luego el cuadrado de los catetos es 1 y 2, que suman 3, con lo que la longitud de la hipotenusa es raíz de 3. Y así sucesivamente con todos los triángulos. Construyendo un ángulo recto y midiendo sobre él una unidad avanzamos un número más.

No sé si la figura estará realmente bien construida, porque en esa sucesión de triángulos el ángulo que comparten, el que pincha el centro, se va haciendo progresivamente más pequeño (aunque no demasiado). Cada ángulo tiene como tangente 1 dividido por la raíz correspondiente (el cateto opuesto siempre es 1 y el contiguo es la raíz que veíamos). Así que para el primero el ángulo es 45º, pero para el tercero 30º, y en el 17 ha bajado hasta 13,6º. La verdad es que así a ojo es fácil ver si el último ángulo cabe tres veces y media en el primero, probablemente si.

Dándole vueltas a esta figura me he acordado de Don Aurelio, el profesor que me dio clase de dibujo técnico en 1º de BUP y filosofía en 3º de BUP y COU. Era un personaje verdaderamente convencido de lo que explicaba, que se declaraba platónico y que asumía personalmente el lema de la Academia "que nadie entre aquí si no sabe geometría".

Decía al principio que para comprobar la construcción de la figura sólo necesitamos el teorema de Pitágoras. Esa maravilla que está en el borde entre lo evidente y lo incomprensible está explicada con detalle en ESTA otra entrada.

viernes, 2 de marzo de 2012

La duración de un año

Con eso de que éste es un año bisiesto, y acercándose al 29 de febrero (the leap day en inglés), se han publicado muchas cosas al respecto; como la razón del nombre bisiesto, bis sexto, la repetición del sexto día (antes de las calendas de marzo) (ver el artículo de Javier Armentia), que se introdujo en tiempos de Julio Cesar, o que es el único día en que las mujeres estaban autorizadas a pedir matrimonio a los hombres. Asomarse a la historia de los calendarios da para mucho más de lo que parece.

Me han gustado especialmente dos vídeos, uno centrado en la definición de "un año", que resulta menos evidente de lo que parece cuando se quiere precisar, de hecho hay al menos tres definiciones posibles y no so idénticas. El segundo explica el desajuste de las estaciones que requiere del día bisiesto y y cómo se fija este en el calendario moderno. Ahí van (entre los dos apenas pasan de 5 minutos, están en inglés)



jueves, 1 de marzo de 2012

El ruido de la tetera

Tengo en el despacho un electrodoméstico para hervir agua, ese que los ingleses llaman kettle y que no tiene una traducción adecuada en castellano. En el fondo de un recipiente donde se coloca el agua, una resistencia eléctrica le comunica el calor necesario para hacerla hervir.

La secuencia de sonidos cuando se conecta es muy característica: silencio, comienzo de un ruido grave que va aumentando en intensidad, disminución del mismo, silencio y comienzo de un ruido más agudo e irregular, el clásico borboteo del agua hirviendo. ¿En que consiste el primer ruido?

El proceso de transferencia de calor desde la resistencia al agua es más complejo de lo que parece, y además es un fenómeno que está muy alejado del equilibrio. Aunque nos cueste imaginarlo, puede haber diferencias de muchos grados de un punto a otro del agua. Cuando la temperatura llega a la de ebullición, esto ocurre en la capa más próxima a la resistencia. Allí se crean burbujas que, al alejarse de la resistencia, entran en el agua más fría y vuelven a fase líquida: colapsan con brusquedad produciendo las ondas sonoras que percibimos como el sonido grave. Este proceso se conoce como "ebullición nucleada".

Las burbujas se alejan de la resistencia porque pesan menos que el aire, por tanto tienden a ascender por el líquido, siendo reemplazado su lugar por agua más fría de arriba. Obviamente para que esto ocurra hace falta que las cosas pesen, es decir que haya gravedad. Este asunto se experimentó en alguna de las misiones de la NASA en microgravedad dando como resultado algo muy distinto: en vez de muchas burbujitas aparecía una burbuja gorda; en vez de un mecanismo muy eficiente de transporte de calor entre su fuente (la resistencia) y el líquido, se creaba una película aislante que lo dificultaba. Véase el vídeo aquí debajo: a la derecha la ebullición en microgravedad, a la izquierda con gravedad normal.


El fenómeno de la ebullición nucleada tiene mucha similitud con la "cavitación". En ésta, las burbujitas se crean por una disminución local de presión en vez de por un aumento de la temperatura. Cuando un fluido se acelera su presión disminuye (cosa que se desprende de la conservación de la energía, reformulada en fluidos como principio de Bernouilli). Así, al pasar el fluido por un estrechamiento (vale un obstáculo) se acelera y con ello disminuye su presión. Si la velocidad es suficiente, esa disminución de presión será suficiente como para hacer hervir el agua a temperatura ambiente; eso sí, de forma local. Cuando las burbujitas se alejan del estrechamiento y la presión vuelve a subir colapsan de nuevo, igual que ocurría en la ebullición nucleada, y hacen el mismo ruido. En el siguiente vídeo (en inglés) se muestra (y explica) el proceso de cavitación.


Un experimento casero sencillísimo y muy recomendable es poner un cazo con agua a hervir en la cocina de casa e ir siguiendo las distintas etapas que se suceden:
- Aparecen burbujas en las paredes y fondo (de aire que percipita al disminuir su solubiulidad con la temperatura).
- Se ven "corrientes de convección" gracias a la variación del índice de refracción del agua con la temperatura. Esto es más visible si la película de agua no es muy gruesa, y en aceite se aprecian quizá mejor aún.
- Comienzan a aparecer las burbujitas de la ebullición nucleada. Por cierto, si se echa un poco se sal en ese momento aumentan las burbujas: se han añadido más centros de nucleación.
- Finalmente, las burbujas son grandes y llegan a la superfiice sin haber colapsado. Estamos ya en la fase de ebullición franca.

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Encontré información sobre los sonidos de la tetera (en inglés) aquí, y en esa misma página hacen referencia al experimento de la NASA, ya mencionado. 

Esta entrada fue publicada por primera vez, en el otro blog, el 26 de octubre de 2008